ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán – Lớp 9
Thời gian: 150 phút
( Bài 1:
1) Cho a, b, c là các số tự nhiên không nhỏ hơn 1.
Chứng minh:
≥

2) Cho các số dương a, b, c và các số dương x, y, z thay đổi sao cho:

= 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z

( Bài 2:
Giải các hệ phương trình sau:
1)

2)


( Bài 3:
Cho hình thoi ABCD cạnh a. Gọi R, r lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp (ABD, (ABC.
Chứng minh:


( Bài 4:
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Từ điểm M nằm trong tam giác vẽ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Xác định vị trí điểm M để:
 có giá trị nhỏ nhất.

––––– HẾT –––––

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán – Lớp 9
Bài 1:
Ta cần chứng minh:

Ta có:


=

=
≥ 0
(

Áp dụng kết quả trên. Ta có:

(vì c ≥ 1) (1)
Tương tự:
(2)

(3)
( (1) (2) (3) ( đpcm
2)
Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có:


(

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:


(

Suy ra:
x =

y =

z =

Khi đó:
minA =

Bài 2:
1)
(

Vai trò x, y, z hoán vị vòng quanh.
Giả sử x là số lớn nhất, x ≥ y, x ≥ z
( x ≥ z từ (1) (2) có y ≥ x
x ≥ y và y ≥ x nên x = y kết hợp với (2), (3) có z = y
Vậy x = y = z.
(1) có x3 + x = 2x ( x3 – x = 0
( x(x2 – 1) = 0 (

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:


2)
(
(

y = 1 ; x2 + x – 6 = 0 y = 1 ; (x – 2) (x + 3) = 0
x = 1 ; y2 + y – 6 = 0 x = 1 ; (y – 2) (y + 3) = 0
y = 1 ; x = 2 hoặc x = – 3
x = 1 ; y = 2 hoặc y = – 3
Hệ phương trình có 4 nghiệm là:


3) Điều kiện:

Từ x ≥ 0 và y ≥ 0. Ta có:
≥ 1
Dấu “=” xảy ra ( x = y = 0

nghiệm đúng hệ phương trình đã cho
Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Bài 3:
Giả sử trung trực của cạnh AB cắt AB, AC, BD lần lượt tại M, I, K.
Tứ giác ABCD là hình thoi.
( OA = OC, OB = OD, AC BD
( AC là trung trực của BD, BD là trung trực của AC.
Do đó I, K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB, ABC.
( IA = R, KB = r.
Xét (OAB và (MKB có:
B chung
AOB = KMB (= 90°)
( (OAB (MKB
(

( OB2 =

Tương tự:
(OAB (MAI (

( OA2 =

(OAB tại O ( OA2 + OB2 = AB2
(

Bài 4:
Bài toán phụ: Cho a, b, c > 0
Chứng minh rằng:

Dấu “=” xảy ra ( a = b = c.
Ta có: